Question

cho a, b thuộc n* thoả mãn M=(9a+11b)*(5b+11a) chia hết cho 19 cmr M cũng chia hết cho 361

Answer 1

Chào em, em giải bài này như sau nhé (bài nào khó hỏi anh nha)

M chia hết cho 19 nên \(\hept{\begin{cases}9a+11b⋮19\\5b+11a⋮19\\9a+11b⋮19;11a+5b⋮19\end{cases}}\)

Đến đây ta xét 3 trường hợp:

   Trường hợp 1: Cả 2 số 9a+11b và 11a+5b chia hết cho 19, khi đó M chia hết cho 19*19=361, bài toán được giải xong.

   Trường hợp 2: 9a+11b chia hết cho 19, ta sẽ chứng minh 5b+11a cũng chia hết cho 19

Ta có:

         \(11\left(11a+5b\right)=121a+55b=5\left(11b+9a\right)+76a\)

Nhân thấy 76a =19x4xa chia hết cho 19 và 5(11b+9a) chia hết cho 19 (theo giả thiết đang xét)

Do đó\(11\left(11a+5b\right)⋮19\Rightarrow11a+5b⋮19\)(do 11 và 19 nguyên tố cùng nhau)

Khi đó M chia hết cho 19*19=361 vì cả 9a+11b và 11a+5b đều chia hết cho 19

Trường hợp 3: 5b+11a chia hết cho 19, ta sẽ chứng minh 9a+11b chia hết cho 19

Ta có: \(11\cdot\left(9a+11b\right)=99a+121b=9\left(11a+5b\right)+76b\)

Nhân thấy 76b =19x4xb chia hết cho 19 và 9(5b+11a) chia hết cho 19 (theo giả thiết đang xét)

Do đó\(11\left(9a+11b\right)⋮19\Rightarrow9a+11b⋮19\)(do 9 và 19 nguyên tố cùng nhau)

Khi đó M chia hết cho 19*19=361 vì cả 9a+11b và 11a+5b đều chia hết cho 19

Vậy M chia hết cho 19 thì M cũng chia hết cho 361

Answer 2

Bài này khó nhỉ 

Nghe nói bài này sẽ có trong thi

Answer 3

11(11a+5b) dau ra the anh

Answer 4

Ta có: với a,b∈N∗⇒9a+11ba,b∈N∗⇒9a+11b và 5b+11a5b+11a cùng là các số tự nhiên khác 0.0.

Khi đó M=(9a+11b)(5b+11a)⋮19M=(9a+11b)(5b+11a)⋮19 thì ⎡⎣9a+11b⋮195b+11a⋮19.[9a+11b⋮195b+11a⋮19.

TH1: Xét 9a+11b⋮199a+11b⋮19

⇒⇒ Để chứng minh M⋮361,M⋮361, ta cần chứng minh 5b+11a⋮19.5b+11a⋮19.

Ta có: 38⋮19⇒38(a+b)⋮1938⋮19⇒38(a+b)⋮19

38(a+b)=38a+38b=11a+27a+5b+33b=(27a+33b)+11a+5b=3(9a+11b)+(11a+5b).38(a+b)=38a+38b=11a+27a+5b+33b=(27a+33b)+11a+5b=3(9a+11b)+(11a+5b).

Vì 9a+11b⋮19⇒3(9a+11b)⋮199a+11b⋮19⇒3(9a+11b)⋮19 và 38(a+b)⋮1938(a+b)⋮19

  ⇒11a+5b⋮19.⇒M=(9a+11b)(5b+11a)⋮361.⇒11a+5b⋮19.⇒M=(9a+11b)(5b+11a)⋮361.

TH2: Xét 5b+11a⋮195b+11a⋮19

⇒⇒ Để chứng minh M⋮361,M⋮361, ta cần chứng minh 9a+11b⋮19.9a+11b⋮19.

Ta có: 38⋮19⇒38(a+b)⋮1938⋮19⇒38(a+b)⋮19

38(a+b)=38a+38b=11a+27a+5b+33b=(27a+33b)+11a+5b=3(9a+11b)+(11a+5b).38(a+b)=38a+38b=11a+27a+5b+33b=(27a+33b)+11a+5b=3(9a+11b)+(11a+5b).

Vì 38(a+b)⋮1938(a+b)⋮19 và 11a+5b⋮1911a+5b⋮19

⇒3(9a+11b)⋮19⇒9a+11b⋮19.⇒M=(9a+11b)(5b+11a)⋮361.⇒3(9a+11b)⋮19⇒9a+11b⋮19.⇒M=(9a+11b)(5b+11a)⋮361.

Vậy khi M=(9a+11b)(5b+11a)⋮19M=(9a+11b)(5b+11a)⋮19 thì M⋮361.