xét hiệu
\(A=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2=\frac{a^2+b^2}{ab}-\frac{2ab}{ab}=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge2\)
vậy \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
\(A=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\)
\(\Leftrightarrow A=\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{ab}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{ab}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{ab}-2\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2-2ab}{ab}=\frac{a^2-2ab+b^2}{ab}\) (hằng đẳng thức)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\) ; Bình phương luôn dương => Tử dương (1)
TH1: a và b âm => mẫu dương + (1)=> A>=2 . Ngoại lệ Tử bé hơn mẫu => A<2
TH2: a âm và b dương => mẫu âm + (1) => A<2
TH3 : a dương và b âm => mẫu âm +(1) => A<2
