1) a2 - ab + b2 ≥ 0
<=> ( 4a2 - 4ab + b2 ) + 3b2 ≥ 0
<=> ( 2a - b )2 + 3b2 ≥ 0 ( đúng ∀ a,b )
Vậy bđt ban đầu được chứng minh
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = 0
2) a2 - ab + b2 ≥ 1/4( a + b )2
<=> 4a2 - 4ab + 4b2 ≥ a2 + 2ab + b2
<=> 4a2 - 4ab + 4b - a2 - 2ab - b2 ≥ 0
<=> 3a2 - 6ab + 3b2 ≥ 0
<=> a2 - 2ab + b2 ≥ 0
<=> ( a - b )2 ≥ 0 ( đúng ∀ a,b )
Vậy bđt ban đầu được chứng minh
Đẳng thức xảy ra <=> a = b
Chứng minh rằng với mọi bộ ba số khác 0 tùy ý \(a,b,c\) luôn có \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}\).
Cho \(x,y\) là hai số thực tùy ý. Chứng minh rằng \(x^2+y^2+xy-3x-3y+3\ge0\).
Cho ba số dương \(a,b,c\) thỏa mãn điều kiện \(a+b+c+ab+bc+ca=6abc\) . Chứng minh rằng
\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge3\).
Cho a, b, c là ba số dương thay đổi luôn có tổng bằng 3. Chứng minh rằng
\(\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2}\ge3\).
Chứng minh rằng với mọi số thực \(x\) luôn có \(\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x-4\right)+1\ge0\).
Cho \(a,b,c\)là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng \(abc\ge\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)\).
Cho \(a,b,c\) là ba số dương có tích bằng 1. Chứng minh rằng
\(\frac{ab}{a^5+b^5+ab}+\frac{bc}{b^5+c^5+bc}+\frac{ca}{c^5+a^5+ca}\le1\).
Cho \(0\le a,b,c\le2\) và \(a+b+c=3\). Chứng minh rằng \(a^2+b^2+c^2\le5\).
Cho ba số \(x,y,z\) thỏa mãn điều kiện \(z\ge y\ge x\ge0\). Chứng minh rẳng
\(x\left(x-y\right)\left(x-z\right)+y\left(y-z\right)\left(y-x\right)+z\left(z-x\right)\left(z-y\right)\ge0\)
