Question

Cho a. b là các số thực dương thỏa mãn: \(a^{100}+b^{100}=a^{101}+b^{101}=a^{102}+b^{102}\)

Tính giá trị của biểu thức: \(P=a^{2007}+b^{2007}\)

Answer 1

Từ \(a^{100}+b^{100}=a^{101}+b^{101}=a^{102}+b^{102}\)

\(\Rightarrow a^{100}+b^{100}+a^{102}+b^{102}=2\left(a^{101}+b^{101}\right)\)

\(\Rightarrow a^{100}+b^{100}+a^{102}+b^{102}-2\left(a^{101}+b^{101}\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(a^{102}-2a^{101}+a^{100}\right)+\left(b^{102}-2b^{101}+b^{100}\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(a^{51}-a^{50}\right)^2+\left(b^{51}-b^{50}\right)^2=0\left(1\right)\)

Vif \(\hept{\begin{cases}\left(a^{51}-a^{50}\right)^2\ge0\forall a\\\left(b^{51}-b^{50}\right)^2\ge0\forall b\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(a^{51}-a^{50}\right)^2+\left(b^{51}-b^{50}\right)^2\ge0\forall a,b\left(2\right)\)

Tứ (1) và (2) :

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(a^{51}-a^{50}\right)^2=0\\\left(b^{51}-b^{50}\right)^2=0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^{51}-a^{50}=0\\b^{51}-b^{50}=0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^{51}=a^{50}\\b^{51}=b^{50}\end{cases}}\)

Vì a,b là các số thực dương nên \(a=b=1\)

\(\Rightarrow P=a^{2007}+b^{2007}=1^{2007}+1^{2007}=1+1=2\)

Vậy \(P=2\)