Question

Cho a, b là các số dương thỏa mãn điều kiện  ( a + b ) 3 + 4 a b ≤ 12.   Chứng minh bất đẳng thức  1 1 + a + 1 1 + b + 2015 a b ≤ 2016.

Answer 1

Ta có 12 ≥ ( a + b ) 3 + 4 a b ≥ 2 a b 3 + 4 a b . Đặt t = a b , t > 0  thì

12 ≥ 8 t 3 + 4 t 2 ⇔ 2 t 3 + t 2 − 3 ≤ 0 ⇔ ( t − 1 ) ( 2 t 2 + 3 t + 3 ) ≤ 0  

Do 2 t 2 + 3 t + 3 > 0 , ∀ t nên t − 1 ≤ 0 ⇔ t ≤ 1 . Vậy 0 < a b ≤ 1  

Chứng minh được 1 1 + a + 1 1 + b ≤ 2 1 + a b , ∀ a , b > 0  thỏa mãn a b ≤ 1  

Thật vậy, BĐT 1 1 + a − 1 1 + a b + 1 1 + b − 1 1 + a b ≤ 0  

a b − a ( 1 + a ) ( 1 + a b ) + a b − b ( 1 + b ) ( 1 + a b ) ≤ 0 ⇔ b − a 1 + a b a 1 + a − b 1 + b ⇔ ( b − a ) 2 ( a b − 1 ) ( 1 + a b ) ( 1 + a ) ( 1 + b ) ≤ 0  

 

Do 0 < a b ≤ 1  nên BĐT này đúng

Tiếp theo ta sẽ CM 2 1 + a b + 2015 a b ≤ 2016 , ∀ a , b > 0  thỏa mãn  a b ≤ 1

Đặt t = a b , 0 < t ≤ t  ta được 2 1 + t + 2015 t 2 ≤ 2016  

2015 t 3 + 2015 t 2 − 2016 t − 2014 ≤ 0 ⇔ ( t − 1 ) ( 2015 t 2 + 4030 t + 2014 ) ≤ 0  

BĐT này đúng  ∀ t : 0 < t ≤ 1  

Vậy  1 1 + a + 1 1 + b + 2015 a b ≤ 2016.  Đẳng thức xảy ra a = b = 1