Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Pham Trong Bach

Cho a, b là 2 số thực dương thỏa mãn a + b = ab. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  P = 1 a 2 + 2 a + 1 b 2 + 2 b + 1 + a 2 1 + b 2

Cao Minh Tâm
24 tháng 7 2019 lúc 5:46

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có  ( 1 + a 2 ) ( 1 + b 2 ) ≥ 1 + a b = 1 + a + b (1)

Với mọi x, y > 0, áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương ta có:

1 x + 1 y ( x + y ) ≥ 2 1 x . 1 y .2 x y = 4 ⇒ 1 x + 1 y ≥ 4 x + y (2)

Áp dụng (1) và (2) ta có:

P ≥ 4 a 2 + 2 a + b 2 + 2 b + 1 + a + b = 4 a 2 + b 2 + 2 a b + 1 + a + b = 4 ( a + b ) 2 + a + b 8 + 7 ( a + b ) 8 + 1

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương ta có:

a + b = a b ≤ ( a + b ) 2 4 ⇒ ( a + b ) 2 ≥ 4 ( a + b ) ⇒ a + b ≥ 4

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương ta có:

4 ( a + b ) 2 + a + b 16 + a + b 16 ≥ 3 4 ( a + b ) 2 . a + b 16 . a + b 16 3 = 3 4 ⇒ P ≥ 3 4 + 7 8 .4 + 1 = 21 4

Dấu bằng xảy ra khi a = b = 2. Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 21/4 


Các câu hỏi tương tự
Lê Trọng Bằng
Xem chi tiết
Ah Min
Xem chi tiết
Trần Tuyết Mai
Xem chi tiết
Uyên Hoàng
Xem chi tiết
toán khó mới hay
Xem chi tiết
Vũ Thanh Lương
Xem chi tiết
Pham Quoc Hieu
Xem chi tiết
Đào Hải Ngọc
Xem chi tiết
Truong Tuan Dat
Xem chi tiết