Question

cho a, b là 2 số thoả mãn đẳng thức \(2a^2+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{b^2}{4}=4\left(a\ne0\right)\)

tìm giá trị a, b để tích ab đạt giá trị nhỏ nhất?

Answer 1

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cô-si cho các số không âm:

\(4=2a^2+\frac{1}{a^2}+\frac{b^2}{4}=a^2+a^2+\frac{1}{a^2}+\frac{b^2}{4}\)

\(\geq 4\sqrt[4]{a^2.a^2.\frac{1}{a^2}.\frac{b^2}{4}}=4\sqrt[4]{\frac{a^2b^2}{4}}\)

\(\Rightarrow a^2b^2\leq 4\Rightarrow (ab-2)(ab+2)\leq 0\)

\(\Rightarrow ab\geq -2\)

Vậy \(ab_{\min}=-2\)

Dấu bằng xảy ra khi \(a^2=\frac{1}{a^2}=\frac{b^2}{4}\) . Kết hợp với $ab=-2$ ta suy ra \((a,b)=(-1,2); (1,-2)\)