a)
Xét hiệu \(\frac{a^3}{a^2+1}-\frac{1}{2}=\frac{2a^3-a^2-1}{2\left(a^2+1\right)}=\frac{2a^2\left(a-1\right)+\left(a-1\right)\left(a+1\right)}{2\left(a^2+1\right)}=\frac{\left(a-1\right)\left(2a^2+a+1\right)}{2\left(a^2+1\right)}\)
Do : \(a\ge1\Rightarrow a-1\ge0\)
\(a^2+a+1=\left(a+\frac{1}{4}\right)^2+\frac{3}{4}>0\Rightarrow2a^2+a+1>0\)
\(a^2+1>0\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a-1\right)\left(2a^2+a+1\right)}{2\left(a^2+1\right)}\ge0\Leftrightarrow\frac{a^3}{a^2+1}-\frac{1}{2}\ge0\Leftrightarrow\frac{a^3}{a^2+1}\ge\frac{1}{2}\)
Tương tự \(\frac{b^3}{b^2+1}\ge\frac{1}{2};\frac{c^3}{c^2+1}\ge\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{a^2+1}+\frac{b^3}{b^2+1}+\frac{c^3}{c^2+1}\ge\frac{3}{2}\)Dấu = xảy ra khi a=b=c=1
Hình như nhầm ,phải là \(\left(a+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\)
Xin lỗi ,cho mình hỏi nếu câu b nếu làm tương tự thì phải phân tích phương trình bậc 4 đúng ko ?
uk. nêu bạn ngại pt thì có thể làm cách này
Áp dụng bđt cosi svac ta được
\(A=\frac{a^4}{a^2+2}+\frac{b^4}{b^2+2}+\frac{c^4}{c^2+2}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2+b^2+c^2+6}\)
DẶt \(a^2+b^2+c^2=t\left(t\ge3\right)\)
Khi đó \(A=\frac{t^2}{t+6}\ge1\Leftrightarrow t^2-t-6\ge0\Leftrightarrow\left(t-3\right)\left(t+2\right)\ge0\)(luôn đúng vì t >=3 )
=> dpcm
