Pham Hoàng Lâm

Cho a, b, c>0 . CMR:

\(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ac+a^2}\ge\frac{a+b+c}{3}\)

Thầy Giáo Toán
15 tháng 9 2015 lúc 23:01

Đầu tiên ta nhắc lại một kết quả sau: Với mọi số dương \(x,y\) thì \(\frac{x^2-xy+y^2}{x^2+xy+y^2}\ge\frac{1}{3}.\) Thực vậy bất đẳng thức tương đương với \(3\left(x^2-xy+y^2\right)\ge x^2+xy+y^2\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2\right)-4xy\ge0\Leftrightarrow2\left(x-y\right)^2\ge0.\) (Đúng).

Đặt vế trái của bất đẳng thức là \(S\) và đặt \(T=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}.\) Áp dụng hằng đẳng thức \(x^3-y^3=\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right),\) ta được

\(S-T=\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3-c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3-a^3}{c^2+ca+a^2}=\left(a-b\right)+\left(b-c\right)+\left(c-a\right)=0\).

Suy ra \(S=T.\) Ta có 
\(2S=S+T=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2}\)
            
                             \(=\left(a+b\right)\frac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}+\left(b+c\right)\frac{b^2-bc+c^2}{b^2+bc+c^2}+\left(c+a\right)\frac{c^2-ca+a^2}{c^2+ca+a^2}\)
                            \(\ge\frac{a+b}{3}+\frac{b+c}{3}+\frac{c+a}{3}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}.\)

Do đó \(2S\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}\to S\ge\frac{a+b+c}{3}.\)
 

Bình luận (0)
xuân Chu Tiểu
22 tháng 6 2017 lúc 22:26

Cho mk hỏi tại sao lại phải đặt thêm biểu thức T vậy ???

Mk vẫn ko hiểu cho lắm !!!

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Trần Triệu Vy
Xem chi tiết
Trương Thanh Nhân
Xem chi tiết
Cố gắng hơn nữa
Xem chi tiết
Nguyễn Võ Anh Nguyên
Xem chi tiết
Trần Duy Khanh
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Nga
Xem chi tiết
An Vy
Xem chi tiết
No choice
Xem chi tiết
trần xuân quyến
Xem chi tiết