Question

Cho a, b, c ϵ N*; thỏa mãn a . b = c.(a + b). Trong đó a và c nguyên tố cùng nhau. Chứng minh a.b.c là số chính phương.

Mọi người giải bằng kiến thức lớp 6(hoặc lớp 7) đều được ạ. Em đang cần lắm ạ. Em cảm ơn mọi người!!!!

Answer 1

Ta có: a.b = c.(a + b) => a.b + c^2 = c.(a + b + c)

Do a và c nguyên tố cùng nhau nên (a, c) = 1. Từ đó suy ra (a^2, c) = 1 và (b^2, c) = 1.

Mà a.b + c^2 = c.(a + b + c) nên ta có:

a.b + c^2 ≡ 0 (mod c)

a.b ≡ -c^2 (mod c)

a.b ≡ 0 (mod c)

Vì (a, c) = 1 nên ta có (b, c) = 1.

Từ a.b = c.(a + b) và (a, c) = 1, suy ra a|b. Đặt b = a.k (k là số tự nhiên).

Thay vào a.b = c.(a + b), ta được:

a^2.k = c.(a + a.k) => k = c/(a^2 - c)

Vì k là số tự nhiên nên a^2 - c | c. Nhưng (a, c) = 1 nên a^2 - c không chia hết cho c. Do đó a^2 - c = 1.

Từ đó suy ra c = a^2 - 1.

Vậy a.b.c = a^2.b - b là số chính phương.