Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
trinh anh tan

Cho a, b, c là các số tự nhiên khác 0. Chứng minh rằng:1<  a/a+b + b/b+c + c/c+a <2

Trí Tiên亗
24 tháng 2 2020 lúc 14:53

\(\frac{a}{c+b}>\frac{a}{a+b+c},\frac{b}{a+c}>\frac{b}{a+b+c},\frac{c}{a+b}>\frac{c}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{c+b}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}>\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)

Lại có : \(\frac{a}{c+b}< \frac{2a}{a+b+c},\frac{b}{a+c}< \frac{2b}{a+b+c},\frac{c}{a+b}< \frac{2c}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{c+b}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}< \frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=2\)

=> đpcm

Khách vãng lai đã xóa

\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\)

\(\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}\)\(\frac{b}{b+c}>\frac{b}{b+c+a}\)và \(\frac{c}{c+a}>\frac{c}{c+a+b}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 1\)

Vì \(\frac{a}{a+b}< 1\Rightarrow\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\left(c>0\right)\)

Chứng minh tương tự \(\frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{b+c+a}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\)

Vậy \(1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\)

Khách vãng lai đã xóa
trinh anh tan
24 tháng 2 2020 lúc 18:58

Mình chưa hiểu chỗ a/a+b<a+c/a+b+c . Bạn giải thích cho mình đi

Khách vãng lai đã xóa

cộng c cả tử và mẫu

Khách vãng lai đã xóa
╰Nguyễn Trí Nghĩa (team...
24 tháng 2 2020 lúc 20:32

+)Ta có:\(\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c};\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c};\frac{c}{c+a}>\frac{c}{c+a+b}\)

=>\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)

=>\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>1\)(1)

+)Ta lại có:\(\frac{a}{a+b}< 1=>\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\)

                   \(\frac{b}{c+b}< 1=>\frac{b}{c+b}< \frac{b+a}{a+b+c}\)

                    \(\frac{c}{a+c}< 1=>\frac{c}{a+c}< \frac{b+c}{a+b+c}\)

=>\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{a+c+b+a+c+b}{a+b+c}=\frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=\frac{2.\left(a+b+c\right)}{a+b+C}=2\)

=>\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\)(2)

+)Từ (1) và (2)

=>\(1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\)

Chúc bn học tốt

Khách vãng lai đã xóa
╰Nguyễn Trí Nghĩa (team...
25 tháng 2 2020 lúc 7:32

Trinh Anh Tan ta có :\(\frac{a}{b}< 1=>\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+c}\)

Chúc bn học tốt và hiểu bài mk làm

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
nguyenquocmanh
Xem chi tiết
Nàng Tiên Cá Ariel
Xem chi tiết
Nguyễn Thanh Bình
Xem chi tiết
Đàm Ngọc Giang Nam
Xem chi tiết
muradsieuga
Xem chi tiết
Mai Ngọc Khánh Huyền
Xem chi tiết
Tạ Quý Mùi
Xem chi tiết
Giao Nguyễn
Xem chi tiết
Thomas Edison
Xem chi tiết