Question

cho a , b , c là các số thực thỏa mãn \(a+b+c=\frac{3}{2}\) .

Chứng minh rằng :  \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{3}{4}\)

Answer 1

áp dụng bất đẳng thức buinhia

\(\left(a+b+c\right)^2\ge\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(1^2+1^2+1^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{3}{2}\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{3}{4}\le a^2+b^2+c^2\)

Answer 2

Ta có : \(\left(a^2-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2-a+\frac{1}{4}\ge0\Leftrightarrow a^2+\frac{1}{4}\ge a\)

Tương tự : \(b^2+\frac{1}{4}\ge b\) và \(c^2+\frac{1}{4}\ge c\)

Cộng vế theo vế ta được : \(a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge a+b+c\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{2}\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{3}{4}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)