Question

Cho $a, b, c$ là các số thực không âm, thỏa mãn $a+b+c=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\sqrt{a^{2}+a}+\sqrt{b^{2}+b}+\sqrt{c^{2}+c}$.

Answer 1

Ta có: \(P=\sqrt{a^2+a}+\sqrt{b^2+b}+\sqrt{c^2+c}\)

\(=\sqrt{a\left(a+1\right)}+\sqrt{b\left(b+1\right)}+\sqrt{c\left(c+1\right)}\)

\(=\frac{1}{2}\left[\sqrt{4a\left(a+1\right)}+\sqrt{4b\left(b+1\right)}+\sqrt{4c\left(c+1\right)}\right]\)

\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{4a+a+1}{4}+\frac{4b+b+1}{4}+\frac{4c+c+1}{4}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\cdot\frac{5\left(a+b+c\right)+3}{4}=\frac{1}{2}\cdot4=2\)

Dấu "=" xảy ra khi: a = b = c = 1/3

Lại có: \(0\le a,b,c\le1\Rightarrow\hept{\begin{cases}a\ge a^2\\b\ge b^2\\c\ge c^2\end{cases}}\)

\(\Rightarrow P\ge\sqrt{a^2+a^2}+\sqrt{b^2+b^2}+\sqrt{c^2+c^2}=\sqrt{2}\left(a+b+c\right)=\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}a=1\\b=c=0\end{cases}}\) và các hoán vị