Sửa đề : ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) = 8abc
Giải :
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho 2 số dương , ta có :
\(\hept{\begin{cases}a+b\ge2\sqrt{ab}\\b+c\ge2\sqrt{bc}\\c+a\ge2\sqrt{ca}\end{cases}}\)
Nhân vế với vế của 3 bất đẳng thức trên ta được :
\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
Vì a,b,c là các số thực dương
nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(b+c\ge2\sqrt{bc}\)
\(c+a\ge2\sqrt{ca}\)
Nhân vế với vế
=> \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge2\sqrt{ab}\cdot2\sqrt{bc}\cdot2\sqrt{ca}=8\sqrt{a^2b^2c^2}=8\left|abc\right|=8abc\)
( do a,b,c là các số thực dương )
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c
=> đpcm
