Ta có , vì: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=3\)
=> \(1=\sqrt[3]{\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{a}}\)
=> \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}\)
=> \(a=b=c\)
=>\(abc=a^3\left(đpcm\right)\)
Đặt a/b=x^3, b/c=y^3,c/a=z^3 . Vì a,b,c khác 0 nên x,y,z khác 0.
Ta có x^3.y^3.z^3=a/b.b/c.c/a=1 => (xyz)^3=1 => xyz=1 => x^3 +y^3 +z^3 =3xyz <=> x^3+y^3+z^3-3xyz=0
=> (x+y)^3 + z^3 -3xy(x+y) - 3xyz =0 <=> (x+y+z)[(x+y)^2 -(x+y)z + z^2 ] -3xy(x+y+z) =0 =>(x+y+z)(x^2+y^2+z^2+2xy-3xy-xz-yz)=0
Vi x,y,z khác 0 nên x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz=0 => 2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2xz=0 => (x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(x^2-2xz+z^2)=0
<=> (x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2=0 => x-y=0 ;y-z=0 ; x-z=0 => x=y=z => x^3=y^3=z^3 => a/b=b/c=c/a => a=b=c => abc=a^3=b^3=c^3
Vậy tích abc lập phương của 1 số nguyên
