Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương \(\frac{a}{bc}\) và \(\frac{b}{ca}\) ta có
\(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}\ge2\sqrt{\frac{ab}{abc^2}}=2.\frac{1}{c}\)
Làm tương tự ta được
\(\frac{a}{bc}+\frac{c}{ab}\ge\frac{2}{b}\)
\(\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\ge\frac{2}{a}\)
Cộng theo từng vế rồi chia cho 2. Ta được BĐT cần chứng minh.
Cho a,b,c là các số thực dương. CHỨNG MINH RẰNG : \(\frac{bc}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{ca}{b^2\left(c+a\right)}+\frac{ab}{c^2\left(a+b\right)}\ge\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}\)
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc=1. Chứng minh rằng\(\frac{1}{ab+b+2}+\frac{1}{bc+c+2}+\frac{1}{ca+a+2}\ge\frac{3}{4}\)\(\ge\)3/4
Cho a , b , c là số dương . Chứng minh rằng :
a ) \(a+b+c\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
b ) \(\frac{a^3}{a^2+b^2+ab}+\frac{b^3}{b^2+c^2+bc}+\frac{c^3}{c^2+a^2+ca}\ge\frac{a+b+c}{3}\)
Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng:
\(\frac{ab}{a^2+b^2}+\frac{bc}{b^2+c^2}+\frac{ca}{c^2+a^2}\ge\frac{3}{2}\)
Cho 3 số a,b,c >0 thỏa mãn ab+bc+ca=1
Chứng minh rằng:\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge\frac{5}{2}\)
Cho a,b,c>0 ; a+b+c \(\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Chứng minh rằng : \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\)
cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\) . chứng minh rằng: \(\frac{a^2}{a+bc}+\frac{b^2}{b+ca}+\frac{c^2}{c+ab}\ge\frac{a+b+c}{4}\)
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3abc. Chứng minh rằng :
\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\left[\frac{a^4}{\left(ab+1\right)\left(ac+1\right)}+\frac{b^4}{\left(bc+1\right)\left(ab+1\right)}+\frac{c^4}{\left(ca+1\right)\left(bc+1\right)}\right]\ge\frac{27}{4}\)
Cho 3 số thực dương thỏa mãn điều kiện \(a+b+c=3\). Chứng minh rằng \(\frac{a}{ab+1}+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{ca+1}\ge\frac{3}{2}\)
