Question

Cho a, b ,c la 3 canh cua tam giac co chu vi bang 2 

Cm   a^2+b^2+c^2+2abc < 2

 

Answer 1

Theo đề ra ta có : a+b+c=2

Mà theo bđt tam giác thì 

a < b + c 

=> a + a < a + b + c 
=> 2a < 2 
=> a < 1 => a-1<0

Bạn làm tương tự thì có b<1 => b-1 <0 và c<1 => c-1<0

Nhân vế theo vế : 

(1 - a)(1 - b)(1 - c) > 0 
=> (1 – b – a + ab)(1 – c) > 0 
=> 1 – c – b + bc – a + ac + ab – abc > 0 
=> 1 – (a + b + c) + ab + bc + ca > abc 

Nên abc < -1 + ab + bc + ca 
=> 2abc < -2 + 2ab + 2bc + 2ca 
=> a² + b² + c² + 2abc < a² + b² + c² – 2 + 2ab + 2bc + 2ca 
=> a² + b² + c² + 2abc < (a + b + c)² - 2 
=> a² + b² + c² + 2abc < 2² - 2 , do a + b = c = 2 
=> a² + b² + c² + 2abc < 2 (đpcm