Question

cho a b c d thuộc z thỏa mãn a+b=c+d và a^2+b^2=c^2+d^2 CMR a^2014+b^2014=c^2014+d^2014

Answer 1

Ta có: a² + b² = c² + d² 

=> a² - c² = d² - b²

=> (a - c)(a + c) = (d - b)(d + b)

Mà a + b = c + d

=> a - c = d - b

+) Nếu a = c

=> a - c = d - b = 0

=> d = b

=> a²⁰¹⁴ = c²⁰¹⁴ và d²⁰¹⁴ = b²⁰¹⁴ 

=> a²⁰¹⁴ + b²⁰¹⁴ = c²⁰¹⁴ + d²⁰¹⁴              (1)

+) Nếu a \(\ne\) c

=> a - c = d - b  (khác 0)

=> d \(\ne\) b 

Có (a - c)(a + c) = (d - b)(d + b)

=> a + c = d + c                     (2)

Mà a + b = c + d                     (3)

Lấy (2) + (3) ta được:

2a + b + c = 2d + b + c

=> 2a = 2d

=> a = d

=> c = b

=> a²⁰¹⁴ = d²⁰¹⁴ và c²⁰¹⁴ = b²⁰¹⁴

=> a²⁰¹⁴ + b²⁰¹⁴ = c²⁰¹⁴ + d²⁰¹⁴                 (4)

Kết hợp (1) và (4) ta được: a²⁰¹⁴ + b²⁰¹⁴ = c²⁰¹⁴ + d²⁰¹⁴ (ĐPCM)