cái này hình như bđt cosi cho 4 số thì phải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 bộ số thực không âm
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b\ge2\sqrt{ab}\\c+d\ge2\sqrt{cd}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow a+b+c+d\ge2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a+b+c+d}{4}\ge\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{cd}}{2}\left(1\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 bộ số thực không âm
\(\Rightarrow\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\ge2\sqrt{\sqrt{abcd}}=2\sqrt[4]{abcd}\)
\(\Rightarrow\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{cd}}{2}\ge\frac{2\sqrt[4]{abcd}}{2}=\sqrt[4]{abcd}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2)
\(\Rightarrow\frac{a+b+c+d}{4}\ge\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{cd}}{2}\ge\sqrt[4]{abcd}\)
\(\Rightarrow\frac{a+b+c+d}{4}\ge\sqrt[4]{abcd}\left(đpcm\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=d\)
Chúc bạn học tốt !!!
Bài làm
Từ \(\frac{a+b+c+d}{4}\ge\sqrt[4]{abcd}\) => \(a+b+c+d\ge4\sqrt[4]{abcd}\)( hiển nhiên đúng vì theo AM-GM )
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c = d
=> đpcm
