Với n>0 thì \(\left|n\right|+n=n+n=2n⋮2\)
Với n=0 thì \(\left|n\right|+n=\left|0\right|+0=0⋮2\)
Với n<0 thì \(\left|n\right|+n=\left(-n\right)+n=0⋮2\)
Vậy với mọi n thì \(\left|n\right|+n⋮2\)
Áp dụng ta có:\(S=\left|a-b\right|+\left|b-c\right|+\left|c-d\right|+\left|d-a\right|\)
\(=\left|a-b\right|+\left(a-b\right)+\left|b-c\right|+\left(b-c\right)+\left|c-d\right|+\left(c-d\right)+\left|d-a\right|+\left(d-a\right)⋮2\)
\(\Rightarrow\)S là số chẵn
Xét mọi trường hợp chẵn lẽ của a,b,c,d ta thấy đều có 2 thừa số chẵn trở lên=> Tích chia hết cho 4(*)
Theo nguyên lí Đi-rich-lê, trong 4 số a,b,c,d luôn có 2 số có cùng số dư với 3=> Hiệu 2 số đó chia hết cho 3
=>Tích chia hết cho 3(**)
Vì (3,4)=1 nên từ (*)và (**)=> tích chia hết cho 12.
Chia hết cho 12 => S = /a-b/ + /b-c/ + /c-d/ + /d-a/ là một số chẵn.
