Question

Cho a; b; c; d là 4 số dương thỏa mãn ab.cd=1. CMR: (căn(1+a)+căn(1+b)).(căn(1+c)+căn(1+d))>=8

Answer 1

Đề: Cho a, b, c, d là 4 số dương thoả mãn abcd = 1. Chứng minh rằng: \(\left(\sqrt{1+a}+\sqrt{1+b}\right)\left(\sqrt{1+c}+\sqrt{1+d}\right)\ge8\)

~ ~ ~ ~ ~

Áp dụng BĐT AM - GM, ta có:

\(\left(\sqrt{1+a}+\sqrt{1+b}\right)\left(\sqrt{1+c}+\sqrt{1+d}\right)\)

\(\ge2\sqrt[4]{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\times2\sqrt[4]{\left(1+c\right)\left(1+d\right)}\)

\(=4\sqrt[4]{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\left(1+d\right)}\)

\(\ge4\sqrt[4]{2\sqrt{a}\times2\sqrt{b}\times2\sqrt{c}\times2\sqrt{d}}\)

\(=4\sqrt[4]{16\sqrt{abcd}}\)

= 8 (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = d = 1