Question

Cho a; b; c; d > 0. Chứng minh rằng:

         1   <   \(\frac{a}{a+b+c}\)+\(\frac{b}{b+c+d}\)+\(\frac{c}{c+d+a}\)+\(\frac{d}{d+a+b}\)<    2

    HD: Áp dụng tính chất: Nếu a < b thì \(\frac{a}{b}\)<\(\frac{a+m}{b+m}\).

Answer 1

Gọi biểu thức cần so sánh là A

Nếu a< b thì ​​\(\frac{a}{b+m}< \frac{a}{b}< \frac{a+m}{b+m}\)

=> \(\frac{a}{a+b+c+d}< \frac{a}{a+b+c}< \frac{a+d}{a+b+c+d}\)

\(\frac{b}{a+b+c+d}< \frac{b}{b+c+d}< \frac{b+a}{a+b+c+d}\)

\(\frac{c}{a+b+c+d}< \frac{c}{c+d+a}< \frac{c+b}{a+b+c+d}\)

\(\frac{d}{a+b+c+d}< \frac{d}{d+a+b}< \frac{d+c}{a+b+c+d}\)

=> cộng các vế trái với nhau, vế giữa với nhau, vế phải với nhau, dâu < giữ nguyên, trong đó vế trái cộng lại rút gọn được 1, vế giữa là A, vế phải cộng lại rút gọn được 2, ra điều phải cm