\(\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}\ge3\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(2-b\right)\left(2-c\right)+\left(2-c\right)\left(2-a\right)+\left(2-a\right)\left(2-b\right)}{\left(2-a\right)\left(2-b\right)\left(2-c\right)}\ge3\)\(\Leftrightarrow\frac{4-2b-2c+bc+4-2c-2a+ca+4-2a-2b+ab}{\left(4-2a-2b+ab\right)\left(2-c\right)}\ge3\)\(\Leftrightarrow\frac{12-4\left(a+b+c\right)+\left(ab+bc+ca\right)}{8-4\left(a+b+c\right)+2\left(ab+bc+ca\right)-abc}\ge3\)
\(\Leftrightarrow12-4\left(a+b+c\right)+\left(ab+bc+ca\right)\ge\) \(24-12\left(a+b+c\right)+6\left(ab+bc+ca\right)-3abc\)
\(\Leftrightarrow8\left(a+b+c\right)+3abc\ge12+5\left(ab+bc+ca\right)\)
Đặt \(a+b+c=p;ab+bc+ca=q;abc=r\)thì giả thiết trở thành \(p^2-2q=3\)hay \(4q-p^2=2q-3\)
và ta cần chứng minh \(8p+3r\ge12+5q\)
Theo Schur, ta có: \(r\ge\frac{p\left(4q-p^2\right)}{9}\)hay \(3r\ge\frac{p\left(4q-p^2\right)}{3}=\frac{p\left(2q-3\right)}{3}\)(*)
Có \(p^2-2q=3\Rightarrow q=\frac{p^2-3}{2}\)(**)
Sử dụng hai điều kiện (*) và (**) ta đưa điều phải chứng minh về dạng \(8p+\frac{p\left(p^2-6\right)}{3}\ge12+\frac{5\left(p^2-3\right)}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(2p-3\right)\left(p-3\right)^2\ge0\)*đúng*
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
