Ta có BĐT quen thuộc \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
Nên còn phải chứng minh \(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
Không mất tính tổng quát giả sử \(a\ge b \ge c\)\(\Rightarrow a^3\ge b^3\ge c^3\)
Áp dụng BĐT Chebyshev ta có:
\(VP=\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge3\left(a^3b+b^3c+c^3a\right)\)
Cần chứng minh \(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge3\left(a^3b+b^3c+c^3a\right)\)
Đây là BĐT Vasc và nó đúng vì tương đương với:
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\left(\left(x^2-y^2-xy-xz+2yz\right)^2+\left(y^2-z^2-yz-xy+2xz\right)^2+\left(z^2-x^2-xz-yz+2xy\right)^2\right)\ge0\)
#Đoạn cuối xin bản quyền cái phong cách TRấT'ss Neet
ahihi tui nhìn nhầm cách đó sai rồi cho qua đi :))
