\(B=1+2+3+...+n\Rightarrow2B=n\left(n+1\right)\)
\(A=1^{2005}+2^{2005}+3^{2005}+...+n^{2005}\)
\(\Rightarrow2A=\left(1^{2005}+n^{2005}\right)+\left[2^{2005}+\left(n-1\right)^{2005}\right]+...+\)\(\left[\left(n-1\right)^{2005}+2^{2005}\right]+\left(n^{2005}+1^{2005}\right)\)
Các biểu thức trong dấu ngoặc đều chia hết cho n + 1 nên:
\(2A⋮\left(n+1\right)\) (1)
Lại có: \(2A=\left[1^{2005}+\left(n-1\right)^{2005}\right]+\left[2^{2005}+\left(n-2\right)^{2005}\right]+...+\) \(\left[\left(n-1\right)^{2005}+1^{2005}\right]+2n^{2005}\)
Các biểu thức trong dấu ngoặc đều chia hết cho n nên:
\(2A⋮n\) (2)
Vì n và n + 1 là 2 số nguyên tố cùng nhau nên từ (1)và(2) \(\Rightarrow2A⋮n\left(n+1\right)=2B\)
Vậy \(A⋮B\)
