Question

Cho a = 1 + 2 + 3 + ... + n và b = 2n + 1 ( Với n \(\in\)  N, n \(\ge\)  2 )

Chứng minh rằng a và b là hai số nguyên tố cùng nhau.

Answer 1

\(a=\frac{n\left(n+1\right)}{2}\)

2n và (2n+1) là nguyên tố cùng nhau vì là 2 số tự nhiên liên tiếp (hoặc có thể xét hiệu để chứng minh)

Ta có UCLN (2n; 2n+1)=1 (a)

Rõ ràng 2n+1 không chia hết cho 2, (a) => UCLN (n; 2n+1) = 1 (1)

2n+2 và 2n+1 cũng nguyên tố cùng nhau vì là 2 số tự nhiên liên tiếp; và 2n+2 = 2(n+1) => UCLN (n+1; 2n+1) = 1 (2)

Từ (1) và (2) => UCLN ( n(n+1) ; 2n+1) = 1 => UCLN ( n(n+1)/2 ; 2n+1) = 1 hay UCLN (a;b) = 1

Nên a và b nguyên tố cùng nhau. ĐPCM