Ta có: \(ab=cd\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{d}=\frac{c}{b}\)
Đặt \(\frac{a}{d}=\frac{c}{b}=k\) \(\left(k\inℕ\right)\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=dk\\c=bk\end{cases}}\)
Ta có: \(a^5+b^5+c^5+d^5\)
\(=d^5k^5+b^5+b^5k^5+d^5\)
\(=k^5\left(d^5+b^5\right)+\left(d^5+b^5\right)\)
\(=\left(k^5+1\right)\left(d^5+b^5\right)\) là hợp số
=> đpcm
Gọi \(\left(a,c\right)=k\), ta có \(a=ka',c=kc'\)và \(\left(a',c'\right)=1\)
Thay vào ab = cd được \(ka'b=kc'd\)nên \(a'b=c'd\)(*)
\(\Rightarrow a'b⋮c'\)mà\(\left(a',c'\right)=1\)nên \(b⋮c'\). Đặt \(b=c't\left(t\inℕ^∗\right)\), thay vào (*) được \(a'c't=c'd\Rightarrow a't=d\)
Do đó \(a^5+b^5+c^5+d^5=k^5a'^5+c'^5t^5+k^5c'^5+a'^5t^5\)\(=a'^5\left(k^5+t^5\right)+c'^5\left(k^5+t^5\right)=\left(a'^5+c'^5\right)\left(k^5+t^5\right)\)
Do a', c', k, t là các số nguyên dương nên \(a^5+b^5+c^5+d^5\)là hợp số (đpcm)
sai rồi bạn ko đc lấy điều kiện \(K\in N\)mà chỉ đc lấy đk \(K\in Z\)thôi bạn nhá
