Question

Cho 4 số dương a,b,c,d .

Chứng minh không thể đồng thời xảy ra các bđt sau :

1. a+b<c+d 

2. (a+b)(c+d) < ab+cd

3. (a+b)cd < (c+d)ab

Answer 1

Giả sử cả ba bđt đều đúng 

Ta có a+b<c+da+b<c+d và ab+cd>(a+b)(c+d)ab+cd>(a+b)(c+d)

→ab+cd>(a+b)2≥4ab→ab+cd>(a+b)2≥4ab (BĐT Cauchy)

→cd≥3ab→cd≥3ab  (1)(1)

-------

Ta có (a+b)cd<(c+d)ab(a+b)cd<(c+d)ab và (c+d)(a+b)<ab+cd(c+d)(a+b)<ab+cd

→(a+b)2.cd<(c+d)(a+b)ab<(ab+cd)ab→(a+b)2.cd<(c+d)(a+b)ab<(ab+cd)ab

Mà (a+b)2.cd≥4abcd(a+b)2.cd≥4abcd  (BĐT Cauchy)

→(ab+cd)ab>4abcd→(ab+cd)ab>4abcd

→ab>3cd→ab>3cd (2)(2)

(1);(2)→ab+cd>4(ab+cd)→ab+cd<0:(1);(2)→ab+cd>4(ab+cd)→ab+cd<0:Mâu thuẫn với giả thiết a,b,c,da,b,c,d dương

→đpcmGiả sử cả ba bđt đều đúng 

Ta có a+b<c+da+b<c+d và ab+cd>(a+b)(c+d)ab+cd>(a+b)(c+d)

→ab+cd>(a+b)2≥4ab→ab+cd>(a+b)2≥4ab (BĐT Cauchy)

→cd≥3ab→cd≥3ab  (1)(1)

-------

Ta có (a+b)cd<(c+d)ab(a+b)cd<(c+d)ab và (c+d)(a+b)<ab+cd(c+d)(a+b)<ab+cd

→(a+b)2.cd<(c+d)(a+b)ab<(ab+cd)ab→(a+b)2.cd<(c+d)(a+b)ab<(ab+cd)ab

Mà (a+b)2.cd≥4abcd(a+b)2.cd≥4abcd  (BĐT Cauchy)

→(ab+cd)ab>4abcd→(ab+cd)ab>4abcd

→ab>3cd→ab>3cd (2)(2)

(1);(2)→ab+cd>4(ab+cd)→ab+cd<0:(1);(2)→ab+cd>4(ab+cd)→ab+cd<0:Mâu thuẫn với giả thiết a,b,c,da,b,c,d dương

→đpcm

Answer 2

#)Giải :

Giải sử cả ba BĐT đều đúng 

Ta có : a + b < c + d và ab + cd > ( a + b )( c + d )

=> ab + cd > ( a + b )² ≥ 4ab ( BĐT Cauchy )

=> cd ≥ 3ab (1)

Ta có : ( a + b )cd < ( c + d )ab và ( c + d )( a + b ) < ab + cd 

=> ( a + b )² .cd < ( c + d )( a + b )ab < ( ab + cd )ab

Mà ( a + b )² .cd ≥ 4abcd ( BĐT Cauchy ) 

=> ( ab + cd )ab > 4abcd

=> ab > 3cd (2)

Từ (1) và (2) => ab + cd > 4( ab + cd ) => ab + cd < 0 mâu thuẫn với giả thiết a,b,c,d 

=> Không thể đồng thời xảy ra cả ba BĐT trên ( đpcm )