Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
☆Nu◈Pa◈Kachi

Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn x+y+z=2. tìm GTNN của biểu thức : P = \(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\)

shitbo
10 tháng 6 2019 lúc 10:50

\(P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=1.\)

Dấu "=" xảy ra khi:

\(x=y=z=\frac{2}{3}\)

Thanh Tùng DZ
10 tháng 6 2019 lúc 10:50

Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương \(\frac{x^2}{y+z}\)và \(\frac{y+z}{4}\), ta được :

\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y+z}.\frac{y+z}{4}}=2.\frac{x}{2}=x\)  ( 1 )

Tương tự : \(\frac{y^2}{x+z}+\frac{x+z}{4}\ge y\)                                       ( 2 )

                \(\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge z\)                                          ( 3 )

Cộng ( 1 ) , ( 2 ) và ( 3 ) , ta được :

\(\left(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\right)+\frac{x+y+z}{2}\ge x+y+z\)

\(P\ge\left(x+y+z\right)-\frac{x+y+z}{2}=1\) 

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)x = y = z = \(\frac{2}{3}\)

Vậy GTNN của P là 1 \(\Leftrightarrow\)x = y = z = \(\frac{2}{3}\)

\(\frac{x^2}{y+z}+x+\frac{y^2}{x+z}+y+\frac{z^2}{x+y}+z=\frac{x\left(x+y+z\right)}{y+z}+\frac{y\left(x+y+z\right)}{x+z}+\frac{z\left(x+y+z\right)}{x+y}\)

\(\Rightarrow P+\left(x+y+z\right)=\left(x+y+z\right)\left(\frac{x}{x+y}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\right)\)hay \(P+2=2\cdot\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\right)\).Mặt khác \(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}=\frac{x^2}{xy+xz}+\frac{y^2}{yz+yx}+\frac{z^2}{zx+zy}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{3\left(xy+yz+zx\right)}{2\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{3}{2}\)

Do đó \(P+2\ge2\cdot\frac{3}{2}=3\Rightarrow P\ge1\)

Dấu '=' xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{x}{xy+xz}=\frac{y}{yx+yz}=\frac{z}{zx+zy}\\x=y=z\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{y+z}=\frac{1}{x+z}=\frac{1}{x+y}\\x=y=z\end{cases}\Leftrightarrow}x=y=z=\frac{2}{3}}\)

Khách vãng lai đã xóa
Cong chua dep nhat
24 tháng 3 2020 lúc 11:45

Áp dụng bất đẳng thức svacsơ cho P ta được :

\(P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{y+z+x+z+x+y}\)

\(P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}\)

\(P\ge\frac{x+y+z}{2}\)

\(P\ge\frac{2}{2}=\left(x+y+z=2\right)\)

Vậy MIn P = 1 khi x=y=z=2/3

Khách vãng lai đã xóa
Ngô Chi Lan
6 tháng 8 2020 lúc 16:20

Bài làm:

Ta có: \(P=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\)

\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{4}{4}=1\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=z=\frac{2}{3}\)

Khách vãng lai đã xóa
Phan Nghĩa
6 tháng 8 2020 lúc 16:30

Sử dụng BĐT Cauchy Schwarz dạng Engel ta có :

\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+x+y+z}\)

\(=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}=\frac{2}{2}=1\)(do x+y+z=2)

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\frac{2}{3}\)

Vậy \(Min_P=1\)đạt được khi \(x=y=z=\frac{2}{3}\)

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Cô Gái Mùa Đông
Xem chi tiết
Nguyễn Hưng Phát
Xem chi tiết
lewandoski
Xem chi tiết
Đỗ Thị Trà My
Xem chi tiết
๖ۣۜmạnͥh2ͣkͫ5ツ
Xem chi tiết
Con Heo
Xem chi tiết
Phạm Thị Thu Huyền
Xem chi tiết
Nguyễn Tiến Đạt
Xem chi tiết
o0oNguyễno0o
Xem chi tiết