Question

Cho 3 số dương 0\(\le\)a\(\le\)b\(\le\)c\(\le\)1

CMR:\(\frac{a}{bc+1}\)\(\le\)\(\frac{b}{ac+1}\)\(\le\)\(\frac{c}{ab+1}\)\(\le\)2

Answer 1

Ta có: a\(\le\)b

<=>a²\(\le\)b²

<=>a²c\(\le\)b²c

<=>a²c+a\(\le\)b²c+b

<=>a(ac+1)\(\le\)b(bc+1)(1)

ac+1 >0 bc+1>0

=>(1)<=>\(\dfrac{a}{bc+1}\le\dfrac{b}{ac+1}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b

C/m tương tự ta có:\(\dfrac{b}{ac+1}\le\dfrac{c}{ab+1}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi b=c

=>\(\dfrac{a}{bc+1}\le\dfrac{b}{ac+1}\le\dfrac{c}{ab+1}\)

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c

Lại có:ab+1\(\ge\)1

\(0\le c\le1\)

=>\(\dfrac{c}{ab+1}< 1\)

=>\(\dfrac{c}{ab+1}\le2\)(bé hơn hoặc bằng chỉ cần bé hơn là thõa mãn nhé)

Từ đó ta có:\(\dfrac{a}{bc+1}\le\dfrac{b}{ac+1}\le\dfrac{c}{ab+1}\le2\)