Đại số lớp 7

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Đỗ thị như quỳnh

A,Cho x,y,z dương .

Chứng minh rằng : \(\frac{x}{2x+y+z}+\frac{y}{2y+z+x}+\frac{z}{2z+x+y}\le\frac{3}{4}\)

B, Cho a,b,c thỏa mãn : a+b+c = 0 . Chứng minh rằng : ab+ bc + ca \(\le\) 0

Trần Việt Linh
26 tháng 12 2016 lúc 12:56

a) Áp dụng bđt \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) (1)

\(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{4}{y+z}\) (2)

Cộng vế vs vế (1);(2) ta có:

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{4}{x+y}+\frac{4}{y+z}\)

Mà: \(\frac{4}{x+y}+\frac{4}{y+z}=4\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}\right)\ge4\left(\frac{4}{x+2y+z}\right)=\frac{16}{x+2y+z}\)

=> \(\frac{16}{x+2y+z}\le\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{1}{z}\)

=> \(\frac{1}{x+2y+z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

=> \(\frac{y}{x+2y+z}\le\frac{y}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{1}{z}\right)\) (3)

Tương tự ta cũng có:

\(\frac{x}{2x+y+z}\le\frac{x}{16}\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\) (4)

\(\frac{z}{x+y+2z}\le\frac{z}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{z}\right)\) (5)

Từ (3);(4);(5) suy ra:

\(\frac{x}{2x+y+z}+\frac{y}{x+2y+z}+\frac{z}{x+y+2z}\le\frac{1}{16}\left(2+\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+2+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}+2\right)\)

Vì: \(x,y,z>0\) nên áp dụng bđt cô-si ta có:

\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2;\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\ge2;\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\ge2\)

Do đó:

\(\frac{x}{2x+y+z}+\frac{y}{x+2y+z}+\frac{z}{x+y+2z}\le\frac{1}{16}\left(6+2+2+2\right)=\frac{1}{16}\cdot12=\frac{3}{4}\)

b)

Vì: \(ab+bc+ca\le\\ a^2+b^2+c^2=\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)=-2\left(ab+bc+ca\right)\)

=> \(3\left(ab+bc+ca\right)\le0\)

=> \(ab+bc+ca\le0\)


Các câu hỏi tương tự
sakura
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Lan Anh
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Lan Anh
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Thùy Linh
Xem chi tiết
Lucky Lunch
Xem chi tiết
Học Tập
Xem chi tiết
Thuyết Dương
Xem chi tiết
Linh nguyen phan khanh
Xem chi tiết
Đỗ thị như quỳnh
Xem chi tiết