Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Hữu Thế

Cho 2 số không âm a và b thỏa mãn a2+b2=a+b

Tính giá trị lớn nhất biểu thức: S=\(\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{b}{b+1}\)

Akai Haruma
27 tháng 6 2019 lúc 17:04

Lời giải:
\(S=\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}=1-\frac{1}{a+1}+1-\frac{1}{b+1}\)

\(=2-\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\right)=2-\frac{a+b+2}{(a+1)(b+1)}=2-\frac{a^2+b^2+2}{ab+a+b+1}(1)\)

Áp dụng BĐT Cauchy cho các số không âm:

\(a^2+b^2\geq 2ab\)

\(a^2+1\geq 2a; b^2+1\geq 2b\)

Cộng theo vế \(2a^2+2b^2+2\geq 2ab+2a+2b\)

\(\Leftrightarrow 2a^2+2b^2+4\geq 2ab+2a+2b+2\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+2\geq ab+a+b+1(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow S\leq 2-\frac{ab+a+b+1}{ab+a+b+1}=1\)

Vậy $S_{\max}=1$. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=1$

Akai Haruma
27 tháng 6 2019 lúc 17:07

Cách khác:

Ta đã biết \(S=2-\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\right)\)

Áp dụng BĐT S.Vacxo: \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\geq \frac{4}{a+1+b+1}=\frac{4}{a+b+2}\)

Áp dụng BĐT Cauchy: \(a+b=a^2+b^2\geq \frac{(a+b)^2}{2}\)

\(\Rightarrow 1\geq \frac{a+b}{2}\Rightarrow a+b\leq 2\)

Do đó: \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\geq \frac{4}{a+b+2}\geq \frac{4}{2+2}=1\)

\(\Rightarrow S=2-\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\right)\leq 2-1=1\)

Vậy $S_{\max}=1$ khi $a=b=1$


Các câu hỏi tương tự
Trần Ngọc Nga
Xem chi tiết
Tho Vo
Xem chi tiết
Nguyễn Thế Phúc Anh
Xem chi tiết
Khanh Nghia Nguyen
Xem chi tiết
Hàn Nhân
Xem chi tiết
nguyen minh thường
Xem chi tiết
Adagaki Aki
Xem chi tiết
Kudo Shinichi
Xem chi tiết
Anngoc Anna
Xem chi tiết