Question

Cho 2 số dương x,y thỏa mãn x+y=1. Tìm GTNN của biểu thức:

\(B=\left(1-\frac{1}{x^2}\right)\left(1-\frac{1}{y^2}\right)\)

 

Giúp với

Answer 1

\(B=\left(1-\frac{1}{x^2}\right)\left(1-\frac{1}{y^2}\right)=1-\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}-\frac{1}{x^2y^2}\right)=1-\frac{x^2+y^2-1}{x^2y^2}\)

\(B=1-\frac{\left(x+y\right)^2-2xy-1}{x^2y^2}=1-\frac{-2xy}{x^2y^2}=1+\frac{2}{xy}\)

Cô-si : \(1=x+y\ge2\sqrt{xy}\Leftrightarrow xy\le\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow B\ge1+\frac{2}{\frac{1}{4}}=9\)

Vậy B có GTNN bằng 9 khi x = y = \(\frac{1}{2}\)