Question

Cho 2 số A(n) và B(n) như sau:

A = 2^{2n + 1} + 2ⁿ⁺¹  + 1

B = 2^{2n + 1} – 2^{n + 1} + 1

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, tồn tại một và duy nhất một trong hai số A(n) hoặc B(n) chia hết cho 5.

Answer 1

Ta có : 

\(A_{\left(n\right)}.B_{\left(n\right)}=\left(2^{2n+1}+2^{n+1}+1\right)\left(2^{2n+1}-2^{n+1}+1\right)\)

\(=\left[\left(2^{2n+1}+1\right)-2^{n+1}\right]\left[\left(2^{2n+1}+1\right)+2^{n+1}\right]\)

\(=\left(2^{2n+1}+1\right)^2-\left(2^{n+1}\right)^2\)

\(=\left(2^{2n+1}\right)^2+2.2^{2n+1}+1-\left(2^{n+1}\right)^2\)

\(=2^{4n+2}+2^{2n+2}+1-2^{2n+2}\)

\(=4^{2n+1}+1\) luôn chia hết cho 5\(\forall n\in N\)

Do đó \(A_{\left(n\right)}.B_{\left(n\right)}\) chia hết cho 5 hay tồn tại 1 và duy nhất \(A_{\left(n\right)}\) hoặc \(B_{\left(n\right)}\) chia hết cho 5