Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
so so

Cho 2 số a, b thỏa mãn điều kiện a+b=1. Chứng minh rằng: \(a^3+b^3+ab\ge\frac{1}{2}\)

Vũ Quyết Chiến
25 tháng 12 2018 lúc 21:32

(a+b)(a2+ab+b2)+ab

=1(a2+2ab+b2-ab)+ab

=((a+b)2-ab)+ab

=1-ab+ab

=1

kudo shinichi
25 tháng 12 2018 lúc 21:41

\(a^3+b^3+ab\)

\(=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+ab\)

\(=a^2-ab+b^2+ab\)

\(=a^2+b^2\)

\(=a^2+b^2+2ab-2ab\)

\(=\left(a+b\right)^2-2ab\)

\(=1-2ab\)

Ta có: \(a+b=1\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2=1^2\)

\(a^2+2ab+b^2=1\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(a^2+2ab+b^2\ge2ab+2.\sqrt{a^2b^2}=2ab+2ab=4ab\)

\(\Leftrightarrow1\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{4}\ge ab\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+ab=1-2ab\ge1-2.\frac{1}{4}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)

                                                                                    đpcm

P/S: Nếu bạn chưa học AM-GM thì chứng minh bài toán phụ

\(a^2+b^2\ge2ab\)rồi áp dụng nhé~


Các câu hỏi tương tự
Pain Thiên Đạo
Xem chi tiết
Vân Nga
Xem chi tiết
Nguyễn Trường Giang
Xem chi tiết
hung
Xem chi tiết
Lê Thế Minh
Xem chi tiết
Đỗ Xuân Tuấn Minh
Xem chi tiết
Trần Quang Đài
Xem chi tiết
Vuong Ngoc Nguyen Ha (Ga...
Xem chi tiết
Vuong Ngoc Nguyen Ha (Ga...
Xem chi tiết