a: ABCD là hình bình hành
=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường
=>O là trung điểm chung của AC và BD
=>OA=OC; OB=OD(1)
Ta có: P là trung điểm của OB
=>\(OP=PB=\dfrac{OB}{2}\left(2\right)\)
Ta có:Q là trung điểm của OD
=>\(OQ=QD=\dfrac{OD}{2}\left(3\right)\)
Từ (1),(2),(3) suy ra DQ=QO=OP=PB
Xét ΔMBP vuông tại M và ΔNDQ vuông tại N có
BP=DQ
\(\widehat{MBP}=\widehat{NDQ}\)(hai góc so le trong, MB//DN)
Do đó: ΔMBP=ΔNDQ
=>MP=NQ
Ta có: MP\(\perp\)AB
AB//CD
Do đó: MP\(\perp\)CD
Ta có: MP\(\perp\)CD
QN\(\perp\)CD
DO đó: MP//QN
Xét tứ giác PMQN có
PM//QN
PM=QN
Do đó: PMQN là hình bình hành
b:
Ta có: OP=OQ
P,O,Q thẳng hàng
Do đó: O là trung điểm của PQ
PMQN là hình bình hành
=>PQ cắt MN tại trung điểm của mỗi đường
mà O là trung điểm của PQ
nên O là trung điểm của MN
