Question

câu 1: cho n thuộc N sao

cmr:n^5-n chia het cho 30

b

tinh giá trị biểu thức:

M=1+(1+2)+...+(1+2+...+99)/1.99+2.98+...+99.1

c tìm a,b biết

bcnn(a,b)-ucln(a,b)=7 

Answer 1

       \(n^5-n=n\left(n^4-1\right)\)

\(=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)\)

\(=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\)

\(=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n^2-4+5\right)\)

\(=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n^2-4\right)+5\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\)

\(=\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+5\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\)

Ta thấy:    \(\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)là tích 5 số nguyên liên tiếp   ( do n thuộc N )   nên chia hết cho  5

                \(5\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\)chia hết cho  5

\(\Rightarrow\)\(n^5-n\) chia hết cho 5   (1)

    \(n^5-n=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\) chia hết cho 2,  cho 3

mà   \(\left(2;3\right)=1\) nên   \(n^5-n\)chia hết cho 6   (2)

Do  \(\left(5;6\right)=1\) nên từ (1) và (2)  suy ra:   \(n^5-n\)chia hết cho 30