\(n^5-n=n\left(n^4-1\right)\)
\(=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)\)
\(=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\)
\(=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n^2-4+5\right)\)
\(=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n^2-4\right)+5\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\)
\(=\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+5\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\)
Ta thấy: \(\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)là tích 5 số nguyên liên tiếp ( do n thuộc N ) nên chia hết cho 5
\(5\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\)chia hết cho 5
\(\Rightarrow\)\(n^5-n\) chia hết cho 5 (1)
\(n^5-n=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\) chia hết cho 2, cho 3
mà \(\left(2;3\right)=1\) nên \(n^5-n\)chia hết cho 6 (2)
Do \(\left(5;6\right)=1\) nên từ (1) và (2) suy ra: \(n^5-n\)chia hết cho 30