Đặt \(\hept{\begin{cases}x=\frac{3a}{a+b+c}\\y=\frac{3b}{a+b+c}\\z=\frac{3c}{a+b+c}\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{x}{3}\left(a+b+c\right)\\b=\frac{y}{3}\left(a+b+c\right)\\c=\frac{z}{3}\left(a+b+c\right)\end{cases}}\) và \(x+y+z=3\)
Thay vào bđt, ta cần chứng minh
\(\sqrt{\frac{x}{2x+y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+2y+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+y+2z}}\le\frac{3}{2}\)
\(VT=\sqrt{\frac{x}{x+3}}+\sqrt{\frac{y}{y+3}}+\sqrt{\frac{z}{z+3}}\)
\(\sqrt{\frac{x}{x+3}}=2.\frac{1}{2}.\sqrt{\frac{x}{x+3}}\le\frac{x}{x+3}+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}-\frac{3}{x+3}\)
Tương tự và cộng lại, ta được
\(VT\le3.\frac{5}{4}-3\left(\frac{1}{x+3}+\frac{1}{y+3}+\frac{1}{z+3}\right)\le\frac{15}{4}-3.\frac{9}{x+y+z+3+3+3}=\frac{15}{4}-\frac{9}{5}=\frac{3}{2}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=1\)hay \(a=b=c\)
