Ta có: \(\text{Σ}_{cyc}\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b,c\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\ge\left(ab+bc+ca\right)\)
Dấu "=" khi a = b = c
Đây là bất đằng thức gì vậy bạn ?
╰❥결 원ッ2K҉7⁀ᶦᵈᵒᶫ♚ Việc gì phải dùng với \(\Sigma_{cyc}\) cho phức tạp vậy má,viết ra hẳn luôn \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\) cũng dc mà :)
Cách tui:
Áp dụng BĐT bunhiacopski ta có:
\(\left(a\cdot b+b\cdot c+c\cdot a\right)^2\le\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(b^2+c^2+a^2\right)\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
