Xét \(\Delta ABD\)và \(\Delta HBD\)ta có :
\(\widehat{ABD}=\widehat{HBD}\)( Vì BD là tia phân giác ) (1)
\(BD:\)Cạnh chung (2)
\(\widehat{BAD}=\widehat{BHD}=90^o\) (3)
Từ (1) ;(2) và (3)
\(\Rightarrow\Delta ABD=\Delta HBD\)( góc - cạnh-góc)
b) Vì \(\Delta ABD=\Delta HBD\)( Chứng minh ở câu a)
\(\Rightarrow AB=HB\)( Cặp cạnh tương ứng )
\(\Rightarrow\Delta ABH\)Cân (1)
Ta lại có : BD là phân giác (2)
Từ (1) và (2)
=> BD là đường trung trực của AH
( Vì trong 1 tam giác cân đường phân giác ứng với cạnh đáy đồng thời là đường trung trực)
c) Vì \(\Delta ABD=\Delta HBD\)( Chứng minh câu a )
\(\Rightarrow AD=HD\)( Cặp cạnh tương ứng )
Xét \(\Delta ADK\)và \(\Delta HDC\)ta có :
\(\widehat{KDA}=\widehat{CDH}\)( đối đỉnh ) (1)
\(AD=HD\)(Chứng minh trên) (2)
\(\widehat{KAD}=\widehat{CHD}=90^o\)(GT ) (3)
Từ (1);(2) và (3)
\(\Rightarrow\Delta ADK=\Delta HDC\)( Góc - cạnh góc )
\(\Rightarrow DK=DC\)( Cặp cạnh tương ứng )
d) Áp dụng định lí Py-ta-go ta có :
\(AB^2+AC^2=BC^2\)
\(6^2+8^2=BC^2\)
\(36+64=BC^2\)
\(\Rightarrow100=BC^2\)
\(\Rightarrow BC=\sqrt{100}\)
\(\Rightarrow BC=10\)
Vì AB=HB ( Chứng minh ở câu b)
Mà \(AB=6cm\)
\(\Rightarrow HB=6cm\)
Ta có : \(HB+HC=BC\)
\(\Rightarrow6+HC=10\)
\(\Rightarrow HC=10-6\)
\(\Rightarrow HC=4cm\)
