Question

Bài toán 122

Cho bốn đường tròn tiếp xúc với nhau đôi một như hình vẽ dưới đây. Biết bán kính đường tròn lớn nhất là R, hai đường tròn nhỡ đều có bán kính là R/2. Hãy tính diện tích phần tô màu theo R và ..

 

 

Answer 1

Gọi A, B là tâm đường tròn nhở (bán kính R/2), C là tâm đường tròn nhỏ (gọi bán kính là x). Khi đó CA = CB = R/2 + x.

Vậy CAB là tam giác cân ở C. Gọi H là điểm tiếp xúc của hai đường tròn nhỡ. Khi đó HA = HB => H là trung điểm của AB => H chính là tâm đường tròn to.

=> HC = HD - DC = R - x.

Vì CAB cân => CH vừa là trung tuyến, vừa là đường cao. Theo định lý Pitago trong tam giác vuông HAC ta có:

       AC2=AH2+HC2

=> (R2 +x)2=(R2 )2+(R−x)2

=> x=R3 

Bán kính đường tròn bé nhất x = R/3.

Diện tích phần tô màu bằng diện tích hình tròn to trừ đi tổng ba hình tròn chứa trong hình tròn to, và bằng:

  πR2−[π(R2 )2+π(R2 )2+π(R3 )2]=718 πR2

Đáp số: 718 πR2

Xem thêm: