Question

Bài * : Tìm ƯCLN của \(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\) và 2n + 1 (n \(\in\) N*)

Answer 1

Gọi \(d\inƯC\left(\frac{n\left(n+1\right)}{2};2n+1\right)\) (d \(\in\) N*) \(\Rightarrow\) \(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\)⋮ d hay n(n + 1) ⋮ d và 2n + 1 ⋮ d.

Suy ra n(2n + 1) - n(n + 1) = 2n² + n - n² + n = n² + (n² + n - n² + n) = n² ⋮ d.

Từ n(n + 1) = n² + n ⋮ d và n² ⋮ d \(\Rightarrow\) n ⋮ d.

Ta lại có 2n + 1 ⋮ d , mà n ⋮ d \(\Rightarrow\) 2n ⋮ d , do đó 1 ⋮ d.  \(\Rightarrow\) d = 1

                Vậy ƯCLN của \(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\) và 2n + 1 là 1. 

Answer 2

Gọi  
d
∈
Ư
C
(
n
(
n
+
1
)
2
;
2
n
+
1
)
  (d 
∈
 N*) 
⇒
 
n
(
n
+
1
)
2
⋮ d hay n(n + 1) ⋮ d và 2n + 1 ⋮ d.

Suy ra n(2n + 1) - n(n + 1) = 2n2 + n - n2 + n = n2 + (n2 + n - n2 + n) = n2 ⋮ d.

Từ n(n + 1) = n2 + n ⋮ d và n2 ⋮ d 
⇒
 n ⋮ d.

Ta lại có 2n + 1 ⋮ d , mà n ⋮ d 
⇒
 2n ⋮ d , do đó 1 ⋮ d.  
⇒
 d = 1

                Vậy ƯCLN của 
n
(
n
+
1
)
2
 và 2n + 1 là 1.