Question

Bài 4 : Cho tam giác ABC vuông cân tại A , M là trung điểm của BC . Lấy điểm D bất kì thuộc cạnh BC . H và I thứ tự là hình chiếu của B và C xuống đường thẳng AD  .Đường thẳng AM cắt CI tại N . Chứng minh rằng :

a) BH = AI

b) DN vuông góc với AD

c) IM là phân giác của góc HIC 

Answer 1

(Hình bạn tự vẽ nha)

a. Xét tg ABH và tg CAI

Ta có: góc BAH = góc ACI=90 độ - góc IAC

                     AB = AC

           góc AHB = góc CIA=90 độ

Nên tg ABH = tg CAI (cạnh huyền-cạnh góc vuông)

=> BH = AI (ĐPCM)

b. Ta có: CI vuông góc với AD =>CI là đường cao của tg ACD

             AM vuông góc với DC =>AM là đường cao của tg ACD

Mà 2 đường cao CI và AM cắt nhau tại N

=>DN là đường cao thứ 3 của tg ACD

Vậy DN vuông góc với AC (ĐPCM)

c. AM vuông góc với BM

AI vuông góc với BH

=>góc MBH=góc MAI

Xét tg BHM và tg AIM

Ta có:       BH=AI (chứng minh câu a)

      Góc MBH=góc MAI(cmt)

                 BM=AM

Nên tg BHM=tg AIM(g.c.g)

=>HM=IM(1)

Góc BMH=góc AMI(2)

Từ (1) và (2) ta có:

        Tg IMH vuông cân tại M

Vậy IM là tia phân giác của góc HIC (ĐPCM)