Bài 1:Cho phương trình \(x^2-2mx-2m-1=0\left(1\right)\)với m là tham số. Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\)sao cho \(\sqrt{x_1+x_2}+\sqrt{3+x_1x_2}=2m+1\)
Bài 2:Cho phương trình \(x^2-\left(2m-1\right)x+m^2-1=0\)(x là ẩn số)
a) Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm giá trị của m để 2 nghiệm \(x_1,x_2\) của phương trình đã cho thỏa mãn \(\left(x_1-x_2\right)^2=x_1-3x_2\)
Bài 3: Cho phương trình: \(3x^2-\left(3m-2\right)x-\left(3m+1\right)=0\). Tìm m để 2 nghiệm \(x_1,x_2\)thỏa mãn hệ thức: \(3x_1-5x_2=6\)
Cho phương trình x2−2mx−2m−1=0(1) với m là tham số. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,x2 sao cho √x1+x2+√3+x1x2=2m+1.
Ta có: Δ′=m2+2m+1=(m+1)2.
Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì Δ>0⇔(m+1)2>0⇔m≠−1.
Khi m≠−1 phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt: {x1=m+m+1=2m+1x2=m−(m+1)=−1.
Theo bài ra ta có:
√x1+x2+√3+x1x2=2m+1⇔√2m+√3−(2m+1)=2m+1⇔√2m+√2−2m=2m+1⇔⎧⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩2m+1≥02m≥02−2m≥02m+2−2m+2√2m(2−2m)=4m2+4m+1⇔⎧⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩m≥−12m≥0m≤12√2m(2−2m)=4m2+4m−1⇔{0≤m≤14(4m−4m2)=16m4+16m2+1+32m3−8m2−8m⇔{0≤m≤116m4+32m3+24m2−24m+1=0⇔{0≤m≤1(2m−1)(8m3+20m2+22m−1)=0⇔⎧⎪ ⎪⎨⎪ ⎪⎩0≤m≤1[m=12m≈0,044⇔[m=12m≈0,044(tm)
Vậy m=12 hoặc m≈0,044.
1.
\(\Delta'=m^2+2m+1=\left(m+1\right)^2>0\Leftrightarrow m\ne-1\)
Theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=-2m-1\end{matrix}\right.\)
Để biểu thức đề bài xác định \(\Rightarrow0\le m\le1\)
\(\Rightarrow\sqrt{2m}+\sqrt{2-2m}=2m+1\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2m}-1=2m-1+2-\sqrt{2-2m}\)
\(\Leftrightarrow\frac{2m-1}{\sqrt{2m}+1}=2m-1+\frac{2\left(2m-1\right)}{2+\sqrt{2-2m}}\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\frac{1}{2}\\\frac{1}{\sqrt{2m}+1}=1+\frac{2}{2+\sqrt{2-2m}}\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Xét (2); \(VT=\frac{1}{\sqrt{2m}+1}\le1\) ; \(\frac{2}{2+\sqrt{2-2m}}>0\Rightarrow VP>1\)
Vậy (2) vô nghiệm \(\Rightarrow m=\frac{1}{2}\)
2.
\(\Delta'=\left(2m-1\right)^2-4\left(m^2-1\right)=5-4m>0\Rightarrow m< \frac{5}{4}\)
Theo Viet \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-1\\x_1x_2=m^2-1\end{matrix}\right.\)
\(x_1-3x_2=\left(x_1-x_2\right)^2\)
\(\Leftrightarrow x_1-3x_2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2\)
\(\Leftrightarrow x_1-3x_2=\left(2m-1\right)^2-4\left(m^2-1\right)\)
\(\Leftrightarrow x_1-3x_2=5-4m\)
Kết hợp hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-1\\x_1-3x_2=5-4m\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-1\\4x_2=6m-6\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\frac{1}{2}\left(m+1\right)\\x_2=\frac{3}{2}\left(m-1\right)\end{matrix}\right.\)
Thế vào \(x_1x_2=m^2-1\)
\(\Leftrightarrow\frac{3}{4}\left(m^2-1\right)=m^2-1\Leftrightarrow m^2-1=0\)
\(\Leftrightarrow m=\pm1\)
3.
\(\Delta=\left(3m-2\right)^2+12\left(3m+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow9m^2+24m+16\ge0\Leftrightarrow\left(3m+4\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy pt đã cho luôn có 2 nghiệm với mọi m
Kết hợp hệ thức Viet và điều kiện đề bài:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\frac{3m-2}{3}\\3x_1-5x_2=6\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}5x_1+5x_2=\frac{15m-10}{3}\\3x_1-5x_2=6\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\frac{15m+8}{24}\\x_2=\frac{3m-8}{8}\end{matrix}\right.\)
Thế vào \(x_1x_2=\frac{-3m-1}{3}\)
\(\Rightarrow\left(\frac{15m+8}{24}\right)\left(\frac{3m-8}{8}\right)=\frac{-3m-1}{3}\)
\(\Leftrightarrow45m^2+96m=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=-\frac{32}{15}\end{matrix}\right.\)
