Ta có : a4 - b4 = ( a4 - 1 ) - ( b4 - 1 )
240 = 2 . 3 . 5 . 8
do đó : ta phải chứng minh : ( a4 - 1 ) \(⋮\)240 và ( b4 - 1 ) \(⋮\)240
Lại có : ( a4 - 1 ) = ( a - 1 ) ( a + 1 ) ( a2 + 1 )
Vì a là số nguyên tố > 5 nên a là số lẻ
=> ( a - 1 ) ( a + 1 ) là tích 2 số chẵn liên tiếp nên \(⋮\)8 ( 1 )
do a > 5 nên :
a = 3k + 1
=> a - 1 = 3k \(⋮\)3
a = 3k + 2 ( 2 )
=> a + 1 = 3k \(⋮\)3
mặt khác vì a là số lẻ => a2 là số lẻ
=> a2 +1 là số chẵn
nên a2 + 1 \(⋮\)2 ( 3 )
a có các dạng :
a = 5k + 1 => a - 1 \(⋮\)5 => a4 - 1 \(⋮\)5
a = 5k + 2 => a2 + 1 \(⋮\)5 => a4 - 1 \(⋮\)5
a = 5k + 3 => a2 + 1 \(⋮\)5 => a4 - 1 \(⋮\)5
a = 5k + 4 => a - 1 \(⋮\)5 => a4 - 1 \(⋮\)5
a = 5k mà p là số nguyên tố nên k = 1
=> a = 5 ( ko thỏa mãn )
=> a4 - 1 \(⋮\)5 ( 4 )
Từ ( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) và ( 4 ) => a4 - 1 \(⋮\)240
tương tự , ta cũng có b4 \(⋮\)240
bài này trong đề thi học sinh giỏi của em họ mình có nè
vì a,b là số nguyên tố lớn hơn 5 nên a,b lẻ. không chia hết cho 3 và 5. thử các số dư thì mọi số đều chia 3,5,16 dư 1 nên số 2 số có cùng số dư, hiệu của chúng chia hết 240
Mk lm tắt quá chỗ nào kko hỉu cứ hỏi mk nhé
