Question

Bài 1:

a> Chứng tỏ rằng tổng 2¹+2²+2³+2⁴+...+2⁹⁹+2¹⁰⁰ chia hết cho 3

b> Tìm số dư khi chia tổng 2¹+2²+2³+2⁴+...+2⁹⁹+2¹⁰⁰ cho 7

c> Cho S = 3¹+3²+3³+...+3²⁰¹⁵+3²⁰¹⁶. Chứng minh rằng S chia hết cho 26

d> Có 2 STN nào mà hiệu của chúng bằng 98 và tích bằng 2018 hay ko?

Answer 1

a) Đặt biểu thức trên là A, ta có:

A = 2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2⁹⁹ + 2¹⁰⁰

=> A = (2¹ + 2²) + (2³ + 2⁴) + ... + (2⁹⁹ + 2¹⁰⁰)

=> A = 2¹.(1 + 2) + 2³.(1 + 2) + ... + 2⁹⁹.(1 + 2)

=> A = 2¹.3 + 2³.3 + ... + 2⁹⁹.3

=> A = 3(2¹ + 2³ + ... + 2⁹⁹)

=> A ⋮ 3

Answer 2

\(26=13.2\)

\(s=3.\left(1+3+9\right)+3^4.\left(1+3+9\right)+....+3^{2012}.\left(1+3+9\right)\)

\(s=3.13+3^413+.....+3^{2012}.13\)

\(s=13.\left(3+3^4+....+3^{2012}\right)\)

\(\Rightarrow s=3.\left(1+3\right)+3^3.\left(1+3\right)+.......+3^{2015}.\left(1+3\right)\)

\(s=3.4+3^3.4+....+3^{2015}.4\)

\(s=4.\left(3+3^3+.....+3^{2015}\right)\)

\(\Rightarrow4⋮2\Rightarrow4.\left(3+3^3+....+3^{2015}\right)⋮2\)

\(\Rightarrow s⋮2\Leftrightarrow s⋮13\)

\(\Rightarrow s⋮\orbr{\begin{cases}13\\2\end{cases}}\Leftrightarrow s⋮26\)

Answer 3

b)  \(A=2^1+2^2+2^3+....+2^{100}\)

\(=2^1+\left(2^2+2^3+2^4\right)+\left(2^5+2^6+2^7\right)+...+\left(2^{98}+2^{99}+2^{100}\right)\)

\(=1+2^2\left(1+2+2^2\right)+2^5\left(1+2+2^2\right)+...+2^{98}\left(1+2+2^2\right)\)

\(=1+\left(1+2+2^2\right)\left(2^2+2^5+...+2^{98}\right)\)

\(=1+7\left(2^2+2^5+...+2^{98}\right)\)

Nhận thấy:  \(7\left(2^2+2^5+...+2^{98}\right)\)\(⋮\)\(7\)mà  1 chia 7 dư 1

=>  A  chia 7 dư 1

Answer 4

d)  Hiệu của 2 số là 98 mà 98 là số chẵn 

=>  2 số đó cùng tính chẵn lẽ    (1)

    Tích của 2 số là 2018 chia hết cho 2

=> 1 trong 2 số phải có 1 số chia hết cho 2   (2)

từ (1) và (2) suy ra:  2 số đó là số chẵn

mà 2 số chẵn thì tích của chúng phải là 1 số chia hết cho 4

nhận thấy 2018 không chia hết cho 4  nên vô lí

Vậy không có 2 STN nào t/m đề bài

Answer 5

a,   có số số hạng là:100 số hạng 

100chia hết cho 2,ta nhóm 2 s/h của tổng trên vào 1 nhóm ,ta có:

2+2^2 +2^3 +2^4 +.......+2^99+2^100

=[2+2^2] +[2^3+2^4] +.......+[2^99+2^100]

=2.[1+2]+2^3.[1+2] +...........+2^99.[1+2]

=2.3+2^3.3 +........+2^99.3

=3.[2+2^3+...............+2^99] chia hết cho 3

vậy biểu thức trên chia hết cho 3

b,    ta nhóm 3 sh của biểu thức trên vào 1 nhóm ,ta được:

[2+2^2+2^3] +[2^4 +2^5 +2^6] +.......+[2^98+2^99+2^100]

=2.[1+2+2^2] +2^4.[1+2+2^21] +............+2^98.[1+2+2^2]

=7.[2+2^4+....+2^98] chia hết cho 7

vậy biểu thứ trên chia cho 7 ko dư

Chúc bạn học tốt nha