Ta có bất đẳng thức phụ sau : \(a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\left(a+b\right)^2\) với mọi \(a,b.\) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a=b.\) Theo bất đẳng thức Cô-Si ta có \(x+y\ge2\sqrt{xy}\to xy\le\frac{1}{4}.\) Suy ra \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge2\sqrt{\frac{1}{xy}}\ge4.\)
Thành thử áp dụng bất đẳng thức phụ cùng với giả thiết ta sẽ được
\(A=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\ge\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}\right)^2=\frac{1}{2}\left(1+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\right)^2\ge\frac{1}{2}\left(1+4\right)^2=\frac{25}{2}\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=\frac{1}{2}.\)
Vậy giá trj bé nhất của \(A\) bằng \(\frac{25}{2}.\)
