Bài 1 : Chứng minh rằng
a. Nếu \(a^2=bc\)thì \(\frac{a^2+b^2}{a^2+c^2}=\frac{b}{c}\)
b. Nếu \(\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+a}{c-a}\)thì \(a^2=bc\)
c.Nếu \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{m}{n}\)thì \(\frac{a}{b}=\frac{a+c+m}{b+d+n}\)
Bài 2 : Tìm x,y
a. \(\frac{x}{y}=\frac{9}{13}\)và \(x+y=88\)
b.\(3x=4y\)và \(x-y=-100\)
1
a,Ta có: \(\frac{a^2+b^2}{a^2+c^2}=\frac{bc+b^2}{bc+c^2}=\frac{b\left(c+b\right)}{c\left(c+b\right)}=\frac{b}{c}\)
b, \(\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+a}{c-a}\Rightarrow\frac{a+b}{c+a}=\frac{a-b}{c-a}=\frac{\left(a+b\right)+\left(a-b\right)}{\left(c+a\right)+\left(c-a\right)}=\frac{2a}{2c}=\frac{a}{c}\)(1)
Mặt khác: \(\frac{a+b}{c+a}=\frac{a-b}{c-a}=\frac{\left(a+b\right)-\left(a-b\right)}{\left(c+a\right)-\left(c-a\right)}=\frac{2b}{2a}=\frac{b}{a}\)(2)
Từ (1);(2)\(\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{a}\Leftrightarrow a^2=bc\)
c, Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau
\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{m}{n}=\frac{a+c+m}{b+d+n}\)
Ta có : \(a^2=bc\)
\(\Rightarrow\frac{a^2+b^2}{a^2+c^2}=\frac{bc+b^2}{bc+c^2}=\frac{b\left(b+c\right)}{c\left(b+c\right)}=\frac{b}{c}\)(đpcm)
Bài 1:
a) \(a^2=bc\Rightarrow\frac{b}{a}=\frac{a}{c}\Rightarrow\frac{b^2}{a^2}=\frac{a^2}{c^2}=\frac{b}{a}\cdot\frac{a}{c}=\frac{b}{c}\) do đó \(\frac{a^2+b^2}{a^2+c^2}=\frac{b}{c}\left(đpcm\right)\)
b, \(\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+a}{c-a}\)
=> (a + b)(c - a) = (a - b)(c + a)
=> ac + bc - a2 - ab = ac + a2 - bc - ba
=> bc - a2 = a2 - bc
=> -2a2 = -2bc
=> a2 = bc (đpcm)
c, Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau là ra
Bài 2:
a, \(\frac{x}{y}=\frac{9}{13}\Rightarrow\frac{x}{9}=\frac{y}{13}\)
Áp dụng TCDTSBN ta có:
\(\frac{x}{9}=\frac{y}{13}=\frac{x+y}{9+13}=\frac{88}{22}=4\)
=> x/9 = 4 => x = 36
=> y/13 = 4 => y = 52
b, \(3x=4y\Rightarrow\frac{x}{4}=\frac{y}{3}\)
Áp dụng TCDTSBN ta có:
\(\frac{x}{4}=\frac{y}{3}=\frac{x-y}{4-3}=-100\)
=> x/4 = -100 => x = -400
=> y/3 = -100 => y = -300
,
Bài 1b.
Ta có: \(\frac{c+a}{c-a}=\frac{b\left(c+a\right)}{b\left(c-a\right)}=\frac{bc+ba}{bc-ba}\) và \(\frac{a+b}{a-b}=\frac{a\left(a+b\right)}{a\left(a-b\right)}=\frac{a^2+ab}{a^2-ab}\)
mà \(\frac{c+a}{c-a}=\frac{a+b}{a-b}\) suy ra \(\frac{bc+ab}{bc-ab}=\frac{a^2+ab}{a^2-ab}\) suy ra \(bc=a^2\)