Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A, AB > BC, H là trung điểm của BC.
a) CM: ABH = ACH. Từ đó suy ra AH vuông góc với BC
b) Tính AH biết BC = 4cm, AB = 6cm.
c) Tia phân giác của góc B cắt AH tại I. CM tam giác BIC cân.
d) Đường thẳng đi qua A và song song với BC cắt tia BI, CI lần lượt tại M và N. Chứng minh A là trung điểm của đoạn thẳng MN.
e) Kẻ IE vuông góc với AB tại E, IF vuông góc với AC tại F. Chứng minh: IH = IE = IF
f) Chứng minh IC vuông góc với MC.
a) Câu a này ở phần chứng minh hai góc đó bằng nhau thì bạn không suy ra được cái vuông góc kia được nhé. Hai cái đó riêng biệt.
Xét △ABH và △ACH có:
AB = AC (△ABC cân)
AH: chung
HB = HC (H: trung điểm BC)
=> △ABH = △ACH (c.c.c)
=> ABH = ACH (2 góc tương ứng)
Vì △ABH = △ACH => AHB = AHC (2 góc tương ứng)
Mà AHB + AHC = 180o (kề bù)
=> 2AHB = 2AHC = 180o
=>AHB = AHC = 180o : 2
=> AHB = AHC = 90o
=> AH \(\perp\)BC
b) Có: HB = HC = 4 : 2 = 2 cm
Xét △AHB vuông tại H
=> HA2 + HB2 = AB2 (định lí Pytago)
=> AH2 = AB2 - HB2
=> HA = \(\sqrt{32}\)cm
c) Xét △BIA và △CIA có:
IA: chung
BAI = CAI (△BAH = △CAH)
AB = AC (△ABC cân)
=> △BIA = △CIA (c.g.c)
=> IB = IC (2 cạnh tương ứng)
=> △BIC cân ở I
d) Vì MN // BC
=> NAB = ABC (so le trong)
và MAC = ACB (so le trong)
Mà ABC = ACB (△ABC cân)
=> NAB = MAC
=> NAB + BAC = MAC + BAC
=> NAC = MAB
Ta có: ABC = ACB (△ABC cân)
=> ABM + MBC = ACN + NCB
Mà MBC = NCB (△BIC cân) => ABM = ACN
Xét △ANC và △AMB có:
ABM = ACN (cmt)
AB = AC (△ABC cân)
NAC = MAB (cmt)
=>△ANC = △AMB (g.c.g)
=> AN = AM (2 cạnh tương ứng)
=> A là trung điểm MN
d) Xét △BIE và △BIH có:
BEI = BHI (= 90o)
IB: chung
IBE = IBH (cmt)
=> △BIE = △BIH (g.c.g)
=> IE = IH (2 cạnh tương ứng) (*)
Xét △CIF vuông tại F và △CIH vuông tại H có:
IC: chung
ICF = ICH (cmt)
=> △CIF = △CIH (ch-gn)
=> IF = IH (2 cạnh tương ứng) (**)
Từ (*) và (**) => IH = IE = IF
e) Vì MN // BC
=> ANC = NCB
Mà NCB = NCA (cmt) => ANC = NCA
Vì ANC = NCA => △ANC cân tại A => ANC = ACN (1)
Vì MN // BC => CBM = AMB
Mà ABM = CBM => AMB = CBM =>△ABM cân tại A => AB = AM
Mà AB = AC (△ABC cân)
=> AC = AM
=> △AMC cân tại A
=> AMC = MCA
Từ (1) và (2) => ACN + MCA = ANC + AMC
=> NCM = ANC + AMC
Mà NCM + ANC + AMC = 180o (định lí tổng ba góc △)
=>2NCM = 180o
=> NCM = 90o
=> IC \(\perp\)MC
