a) Để phân số 2n+1/ n(n+1) là phân số tối giản thì tử và mẫu phải là các số nguyên tố cùng nhau.
Ta có thể phân tích 2n+1 thành (2n+1) = 2n + 1
Vậy phân số trên có thể đưa về dạng:
2n + 1
n(n+1)
ƯCLN(n, n+1) = 1 vì n và n+1 là 2 số liên tiếp.
Do đó, n(n+1) là số nguyên tố cùng nhau với 2n+1 khi và chỉ khi 2n+1 không chia hết cho n và n+1.
Điều này có nghĩa là 2n+1 phải là số lẻ (vì n và n+1 luôn có một số chẵn).
b) Giá trị nhỏ nhất của n để phân số trên là phân số tối giản sẽ xảy ra khi 2n+1 và n(n+1) là 2 số nguyên tố cùng nhau và 2n+1 là số lẻ nhỏ nhất.
Vậy để 2n+1 là số lẻ nhỏ nhất, n phải là số chẵn nhỏ nhất.
Do đó, ta lần lượt thử giá trị của n và tìm số lẻ nhỏ nhất làm cho phân số trên là phân số tối giản:
Khi n = 2:
2n + 1 = 5 và n(n+1) = 6
GCD(5,6) = 1.
Vậy n = 2 làm cho phân số trên là phân số tối giản.
Vậy giá trị nhỏ nhất của n là 2.
